нет, неправомерны, трудовым кодексом, во избежания описанной ситуации, предусмотрена возможность для работодателя подписать с работником, если такой документ сторонами подписан, то работник (даже если он бывший) обязан соблюдать условия соглашения. если же нет, то работодатель не имеет какого-либо права предъявлять претензии, в принципе, стороны минуя положения трудового кодекса могли составить любой другой документ предусматривающие какие либо ограничения, опять же, если этого нет, то и требовать от работника работодатель не вправе.
касаемо доказывания и "копания", то тут все индивидуально, если реакция со стороны органов к которым обращается работодатель есть и эта реакция мешает работать, то можно просто пожаловаться в прокуратуру и на тех и на других, если же никакой особой реакции нет, то можно письменно обратится к бывшему работодателю с письмом, в котором попросить письменно обосновать все свой претензии, а также сделать необходимые ссылки на закон или договора заключенные между работником и работодателем, согласно которым, работник не имеет право заниматься схожим бизнесом или же, оставить человека в покое, пообещав, в противном случае пожаловаться в прокуратуру (в данной ситуации так себе угроза, но кто знает).