ТОО приостанавливает не деятельность, а предоставление налоговой отчетности, прочтите внимательнее заголовок и содержание статьи 213 НК.
Во время такого приостановления ТОО не имеет права проводить операции, которые могут привести к начислению налогов и, соответственно, к сдаче налоговой отчетности. При этом такое приостановление не распространяется, например, на исчисление, уплату земельного налога, налога на имущество и налога на транспортные средства (если такие объекты имеются у ТОО) и сдачу форм 700.00, 701.00, 701.01 (пп.5 п.7 ст.213 НК).
Вы можете вести любую деятельность, которая не приводит к сдаче налоговой отчетности: выплачивать долги контрагентам и получать долги, оплачивать арендную плату, коммунальные услуги, интернет и т.д. Мало того, вам могут приходить уведомления от налоговых органов, по камеральному контролю и другим нарушениям и даже могут назначить налоговую проверку. А уж печатью точно можно пользоваться, ЭЦП не блокируется и не аннулируется, ее можно и нужно ежегодно продлевать хотя бы для того, чтобы проверять поступление уведомлений в личный кабинет.
Ну это уже ваши проблемы, пусть учредитель сам находит выход.
P.S. Кстати, положение, что во время приостановления сдачи налоговой отчетности не надо сдавать стат. отчеты, ввели относительно недавно, а до этого все равно надо было сдавать нулевки в Департамент статистики.